在透镜的Y方向，内凹的非球面柱面镜的设计和外侧全反射面轮廓线的设计如图4的(a)和(b)所示。图4(a)为Zemax中的光路图，从LED射出的±40°以内这部分光线，经过柱面镜折射之后，所有光线的反向延长线交于虚焦点“F”，经过点“F”和柱面镜的边缘所形成的边缘光线，其与光轴的夹角为±19.6°，经过上表面折射后，形成±30°的出射光线。图4(b)为用来计算外侧全反射轮廓线上各点坐标值的数学模型。其中q为LED出射光线OP与光轴OO¢的夹角；Q(x,y)为外侧全反射轮廓线上一点Q的坐标值，其反射线QR与光轴的夹角为d；a为全反射棱镜入射面的拔摸角，以利于中间柱面镜模芯的拔出，这里设置为2°。

(a)

(b)

图4(a)内凹柱面镜Y方向剖面在Zemax中的光路图，(b)全反射棱镜部分Y方向剖面的数学建模

　　当q角从90°变化到40°时，反射角d（即反射光线QR和竖直线QT之间的夹角）从0°变化到19.6°。从点Q(x,y)的角度关系，可以得出以下的式子：

        (1)

        以及：

        (2)

        从公式(1)及(2)，可得出以下的式子：

        (3)

　　其中，b为曲线BD在点Q(x,y)处的切线角，g为切线QZ与竖线QT的夹角，PQ为P点位置的折射光线，q¢为PQ与水平线之间的夹角。曲线BD的导数和切线角b的正切函数之间有如下的关系：

        (4)

　　其中，dy和dx为曲线BD在Y和X方向的微元。

根据在P点位置的斯涅尔定律[3][4]，有如下关系：

　　因此：

        (5)

　　当q角从90°变化到40°时，d从0°渐变到19.6°，假设AB的初始值为1mm，联合公式(1)、(3)、(4)、和(5)，Q(x,y)点的坐标值可以通过数学模型的积分迭代法依次算出。

图5：X剖面，上表面配光设计的数学模型

　　针对上表面在X方向上的配光，其数学模型如图5所示。根据柱面镜底部AB轮廓线上P点位置的斯涅尔定律，有

        (6)

　　再根据Q(x,y)点位置的斯涅尔定律，有如下关系式：

        (7)

　　式中，a为竖直线QV与出射光线QR的夹角，b为法线QN与竖直线QV之间的夹角，q为LED的出射角，q¢为P点位置的折射角，n为透镜材料的折射率。为了配成蝙蝠翼状的光强的远场角度分布，当LED的出射角q从0°变化到76°时，输出光线满足以下的关系：

        ,ifq£60°(8)

        以及

        ,if60

　　再根据以下曲线CF的微分和切线QS的正切角函数之间的关系：

        (10)

　　联合公式（6）至（10），上表面的马鞍形曲线CF的数值坐标可以用积分迭代法一一计算出来。