光谱线宽的原始数值由Shawlow-Townes表达式给出，它从本质上说明了线宽是由自发辐射过程引起的相位变化造成的。对于稀土掺杂激光器，比如掺铒光纤激光器，Shawlow-Townes线宽数值在mHz范围内。

　　一般来说，窄线宽激光器的真实线宽是难以测量的：所有的测量方法均受限于有限的测量时间，及在这段时间内激光光源的线宽受到的由不同噪音源引起的频率抖动的影响，如泵浦激光器噪声、声学噪声、振动噪声等。以窄线宽激光器为例，测得的线宽可以看作是测量系统在积分时间内的技术噪声源造成的综合的频率抖动。

　　线宽测量方法

　　自外差法：

　　通常情况下，使用自外差拍频法测量激光光谱线宽。在该方法中，信号通过一个两路不均衡的马赫-增德尔光纤干涉仪，其中一路有AOM移频器，另一路为延迟光纤（图1）。对于窄线宽激光器的测量，延迟光纤的长度通常是25km，对应约120us的时间延迟。两路光信号干涉产生一个形状和宽度与激光线宽有关的频谱。

　　对测量的频谱分析存在两种情况：一种是激光的相干长度小于或接近干涉仪的臂差，一种是激光有更长的相干长度（the sub-coherent domain）。相干长度小于干涉仪臂差的激光在理想情况下会产生一个半高半宽与激光光谱线宽相等的洛伦兹谱（图2）。

　　严格来讲，本文中的“理想情况”仅指具有白噪声光谱的激光（对应于时间相干性的指数衰减）。大多数线宽非常窄的激光器的光谱都包含大量的高斯型噪声（比如泵浦噪声、振动噪声、声学噪声）。这导致了一个更复杂的Voigt线型，它是对Gaussian线型和Lorentzian线型的卷积。对于稀土掺杂的光纤激光器，Lorentzian线宽数值通常很小，小到线型函数主要为Gaussian线型。这相当于频率噪声谱以1/f函数形式呈现，直到高频频段(>MHz)。光谱并不展示白噪声基底，它只是按1/f函数的趋势延伸，一直到散粒噪声和ASE明显显现的频段。尽管如此，对于洛伦兹线宽，激光器厂商们还是常常采取一个保守的测量，即测量自外差线型峰值点20dB以下的频谱宽度，此处来自Gaussian的影响不显著，相应的Lorentzian半宽也很容易计算得到，约为20dB宽度的10%。

　　图3举例说明了对C15激光器的自外差线宽测量：测得的自外差线宽半宽值约32kHz，而20dB处的半宽约120kHz。图形显示，其相应Gaussian曲线半宽为32 kHz，Lorentzian线型函数在20dB处半宽为120kHz，对应的Lorentzian线宽为12kHz；不论是Gaussian还是 Lorentzian线型函数都不能与实测很好匹配。Lorentzian只在-20dB处有数值交叉，明显地说明匹配度差，而且仅传统的方法使用这一数值作为激光Lorentzian线宽的测量，因为这样测得的线宽明显更窄。作为对比，图中给出了Voigt的拟合曲线。

　　对于相干长度明显大于干涉仪臂差的激光，自外差线型函数明显的与Lorentzian线型函数有偏离。这是由于来自干涉仪两个路径的光的相干干涉。图4举例说明了700Hz线宽的光的情况。线型函数由与AOM频率有关的狄拉克Δ函数以及干涉仪传输函数组成，ripples的深度由激光线宽决定。测量噪声和有限的系统带宽会使测量结果与理论的线型函数及真实的ripples深度有偏差。

 

然而，这种类型的线型函数本身就说明了线宽小于1kHz，得到线宽的最好方式是对所测数据的线型函数的拟合。图5举例说明了对E15激光器的线宽测量（sub-coherent linewidth measurement），其相应线型函数对应的线宽数值是200Hz。

　　相位噪声积分

　　另一种线宽测量的方法基于频率噪声积分：

　　此处，S_△θ(f)是频率噪声频谱密度函数（按Hz2/Hz计算）。尽管这个方法在理论上至少对由1/f噪声主导的激光器是有效的，但实际中只有对积分的频率范围已知时才有意义。和使用25km时延光纤的自外差拍频方法相比，其积分范围应该从大约10kHz直到设备的频率上限。E15、X15（E15的稳频版）和C15光纤激光器的频率噪声如图6所示：

　　外差拍音线宽

　　“外差拍音线宽”大体上覆盖了与由技术噪声引起的频率抖动有关的窄线宽激光器的线宽，该技术噪声是指由上文描述的使用25km延迟光纤的自外差拍频法测量时引起的kHz线宽值。测量这些线宽的准确宽度非常困难，但基于稀土掺杂光纤激光器基本原理的激光参量计算表明，其数值在mHz范围。获得这些数值的直截了当的测量方法（正如名字所提到的）是对被测的激光与一个稳定的窄线宽光源或类似的激光做拍频。如果能够使用足够的分辨率捕获拍音，线宽就能够被测量。获得带有技术噪声的典型测量的挑战：测量sub-Hz线宽数值需要在测量过程中拍频不能漂移出测量窗口范围。对大多数激光器来说，这是一个严格的限制，除非它们能够具有非常高的稳定性。比如Menlo的ORS1500激光器，是一个被超级稳定的低热膨胀干涉仪锁定的光纤激光器。这使它产生线宽<0.3Hz的拍音成为了可能（图7、图8）。它的缺点是由于该系统的尺寸及复杂性，使其仅对于特殊的应用才具有实用性。

 

　　对于紧凑、稳定的X15激光器，残余的频率漂移抑制了对具有如此低数值的外差拍音线宽的测量，但它还是能够得到只有几十Hz数值的线宽。

　　注释：相干性

　　理想状态下，激光的相干时间与线宽成反比关系 △θ=1/(π*τ_coh )。这个关系只在Lorentzian线宽条件下严格准确。正如前文所述，对于窄线宽激光器，比如稀土掺杂光纤激光器，测量的线宽最好可以看作是更窄线宽的频率抖动的综合。因此，如果测量的线宽被使用，其相干时间（和相干长度）常常远远大于由这个反比关系得到的数值。

　　激光线宽总结